Números Racionales

Números Racionales

Número racional es todo número que puede representar se como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;​ es decir, una fracción común ${\$displaystyle a/b} con numerador ${\$displaystyle a} y denominador ${\$displaystyle b} distinto de cero.

A partir de la fracción se define el conjunto de los números de fracción se define el conjunto de los números racionales por un procedimiento similar al que se utilizo para introducir los números enteros a partir de los naturales ;si los enteros se caracterizan por ser un conjunto de números entre los que siempre era posible la resta,ahora los racionales  se caracterizan por ser números entre los que la division exacta(con divisor distinto de cero) siempre es posible.

Cualquier par de números enteros(X,Y)con

Y 0 sera una fracción de (x/y) ; por ejemplo 3/8, -7/3, 0/-5, 84/-6, -13/-428,.....

se decide entonces que dos fracciones  x/y u/v son iguales cuando se cumple X.V=Y.U. así, por ejemplo, las fracciones.

3/-5  y  -42/70

sera iguales,puesto que 

3.70=(-5).(-42)=210

Es fácil comprobar que la igualdad  de facciones  así definida es una relación de equivalencia entre los pares de números enteros con el segundo elemento con el segundo elemento distinto de 0.Las propiedades reflexiva y simétrica de la relación son imediatas;en cuanto a la transitiva ,basta con tener en cuenta que:

x/y=u/v x.v= y.u ; 

u/v = s/t  ⇔ u.t=v.s

x.v.t=y.v.s ⇔ x/y =s/t 

Esta relación de equivalencia define una participación  en clases de conjuntos        el correspondiente conjunto cociente es el conjunto de los números racionales 

Propiedades de los números Racionales 

si los términos de una fracción se multiplican por un mismo numero entre,la fracción resultante es equivalente a la primera y representa  por lo tanto, el mismo numero racional

a.n/b.n =c/d ⇒a/b=c/d

3.2/5.2=6/10 ⇒3/5=6/10

Consecuencia siempre es posible representar un numero racional una fracción denominado positivo, ya que si este fuera negativo bastaría multiplicar por -1 los dos términos de la fracción.

 4/-5.(-1)/(-1)= -4/5

si los dos términos de una fracción tiene un divisor común y se dividen por el,la fracción resultante es equivalente a la primera.

m:a/n:a =r/s⇒m/n=r/s 

4:2/6:2=2/3 ⇒ 4/6=2/3

      

consecuencias: un número racional puede representarse por una fracción cuyos dos términos son primos entre si (basta con dividir por su máximo común divisor).Una fracción de estas características se llaman irreducibles y se toma como representante canónico del  número racional.

15:5/10:5=3/2⇒ fracción irreducible

Es decir, el para (3,2) es el representante canónico de la clase.

Tipos de números Racionales

Quizás lo más conveniente, previo a abordar cada uno de los tipos de números racionales concebidos por las Matemáticas, sea revisar de forma breve la propia definición de este tipo de número, a fin de poder entender esta clasificación dentro de su contexto preciso.

Decimales exactos

En primer lugar, se encontrarán los números racionales, identificados como números decimales exactos, los cuales se caracterizarán por estar conformados por números que cuentan con un número determinado de decimales. Por otro lado, las Matemáticas también señalan que los decimales exactos contarán siempre con un resto igual a cero.

ejemplo:

Decimal periódico puro

Dentro de los distintos números racionales, se encontrarán aquellos denominados números decimales periódicos puros, los cuales se caracterizarán por contar con decimales infinitos, los cuales cuentan con cifras que además de ser iguales se repiten una y otra vez al infinito.

ejemplo:

Decimal periódico mixto

Los decimales periódicos mixtos son aquellos en los que entre la parte entera y el periodo hay una parte decimal que no se repite, llamada ante periodo.

Diferencia de números racionales 

se llaman diferencia de números racionales a la suma de minuendos con el opuesto del sustraendo.

es decir

5/3 - 7/3= 5/3+(-7/3)= 5+(-7) /3 = -2/3= -2/3

• si los números racionales tienen el mismo denominador, su resta se efectúa sumando al minuendo el opuesto del sustraendo y se deja el mismo denominador.
•  Si  deseamos restar números racionales de distinto denominador,bastara con hallar su minuendo común denominador.